【每日算法】贪心决策原排序数组的每一位，以及贪心解的正确性证明

【每日算法】贪心决策原排序数组的每一位，以及贪心解的正确性证明

题目描述

这是 LeetCode 上的 1846. 减小和重新排列数组后的最大元素 ，难度为 中等。

Tag : 「贪心」

给你一个正整数数组 arr 。请你对 arr 执行一些操作（也可以不进行任何操作），使得数组满足以下条件：

arr 中 第一个 元素必须为 1 。任意相邻两个元素的差的绝对值 小于等于 1 ，也就是说，对于任意的 1 <= i < arr.length （数组下标从 0 开始），都满足 abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 。abs(x) 为 x 的绝对值。

你可以执行以下 2 种操作任意次：

减小 arr 中任意元素的值，使其变为一个 更小的正整数 。重新排列 arr 中的元素，你可以以任意顺序重新排列。

请你返回执行以上操作后，在满足前文所述的条件下，arr 中可能的 最大值 。

示例 1：

输入：arr = [2,2,1,2,1]输出：2解释：我们可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] ，该数组满足所有条件。arr 中最大元素为 2 。

示例 2：

输入：arr = [100,1,1000]输出：3解释：一个可行的方案如下：1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 。2. 将第二个元素减小为 2 。3. 将第三个元素减小为 3 。现在 arr = [1,2,3] ，满足所有条件。arr 中最大元素为 3 。

示例 3：

输入：arr = [1,2,3,4,5]输出：5解释：数组已经满足所有条件，最大元素为 5 。

提示：

1 <= arr.length <=

1 <= arr[i] <=

基本分析 & 证明

根据题意，数组的第一位必须是 ，且每个数只能 减小 或 不变，数值位置可以任意调整。

求解经过调整后，符合要求的数组中的最大值是多少。

首先符合条件的数组相邻位差值绝对值不超过 ，这限定了数组的必然是如下三种分布之一：

（非严格）单调递减存在波段（非严格）单调递增

证明一：取得最优解对应的数组「必然是」或者「可调整为」（非严格）单调递增的形式。

我们使用反证法来证明另外两种分布不能取得最优解：

（非严格）单调递减：题目限定了数的范围为正整数，且第一位为，这种情况不用讨论了，跳过；存在波段：我们始终可以将波峰的右侧出现的值，纳入到波峰的左侧，从而消掉这个波峰，最终将整个分布调整为「（非严格）单调递增」的形式，结果不会变差：

多个波段的情况也是同理，可以自己在纸上画画。

都是利用 波峰右侧的点可以调整成波峰左侧的点，从而使分布变为（非严格）单调递增。

至此，我们证明了最优解对应的数组必然符合（非严格）单调递增。

这启发我们可以先对原数组排个序，在此基础上进行分析。

对原数组排序得到的有序数组，不一定是符合「相邻位差值绝对值不超过 」的，同时由于每个数值可以选择 减小 或 不变。

证明二：当必须要对当前位进行调整的时，优先选择调整为「与前一值差值为 的较大数」不会比调整为「与前一差值为 的较小数」更差。

这可以使用归纳推理，假设采取「优先调整为与前一值差值为 的较大数」得到的序列为 ​​​a​​​，采用「优先调整与前一差值为 的较小数」得到的序列为 ​​​b​​。

根据「​」、「​​a​​ 和 ​​b​​ 长度一致」、「​​a​​ 和 ​​b​​ 均为（非严格）单调递增」以及「​​a​​ 和 ​​b​​ 均满足相邻位差值不超过 ​」，可推导出 ​，和任意位置 ​，从而推导出 ​​a​​ 序列的最后一位必然大于等于 ​​b​​ 的最后一位。

即 ​​b​​​ 不会比 ​​a​​ 更优。

证明三：调整大小的操作不会改变数组元素之间的相对位置关系。

在证明二的分析中，我们会对某些元素进行“减小”操作，使得整个数组最终满足「相邻位差值绝对值不超过 」。

但该证明成立的还有一个很重要的前提条件，就是调整操作不会出发元素的位置重排。

那么该前提条件是否必然成立呢？答案是必然成立。

假设原排序数组中存在需要调整的点 和点 ，且 。

为了让数组满足条件，它们都进行了“减少”操作的调整，分别变为了 和 ，如果触发位置重排的话，必然有 。

此时，我们能够通过调整它们的变化关系：点 变为点 、点 变成点 来确保同样满足条件，且不触发元素在有序数组中的位置重排。

贪心

排序，限定第一位值为 ，从前往后处理，根据每一位是否「必须修改（与上一位差值是否大于 ）」做决策，如果必须被修改，则修改为与前一值差值为 的较大数。

Java 代码：

class Solution { public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) { int n = arr.length; Arrays.sort(arr); arr[0] = 1; for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) { arr[i] = arr[i - 1] + 1; } } return arr[n - 1]; }}

Python 3 代码：

class Solution: def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int: n = len(arr) arr.sort() arr[0] = 1 for i in range(1, n): if arr[i] - arr[i - 1] > 1: arr[i] = arr[i - 1] + 1 return arr[n - 1]

时间复杂度：假定​​Arrays.sort​​​ 使用的是双轴快排实现。复杂度为空间复杂度：假定​​Arrays.sort​​​ 使用的是双轴快排实现。复杂度为

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.1846​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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