【每日算法】两种二分基本思路（附二分目录）（二分法笔记）

【每日算法】两种二分基本思路（附二分目录）（二分法笔记）

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​275. H 指数 II​​ ，难度为 中等。

Tag : 「二分」

给定一位研究者论文被引用次数的数组（被引用次数是非负整数），数组已经按照 升序排列 。编写一个方法，计算出研究者的 h 指数。

h 指数的定义: “h 代表“高引用次数”（high citations），一名科研人员的 h 指数是指他（她）的 （N 篇论文中）总共有 h 篇论文分别被引用了至少 h 次。（其余的 N - h 篇论文每篇被引用次数不多于 h 次。）"

示例:

输入: citations = [0,1,3,5,6]输出: 3解释: 给定数组表示研究者总共有 5 篇论文，每篇论文相应的被引用了 0, 1, 3, 5, 6 次。 由于研究者有 3 篇论文每篇至少被引用了 3 次，其余两篇论文每篇被引用不多于 3 次，所以她的 h 指数是 3。

说明:

如果 h 有多有种可能的值 ，h 指数是其中最大的那个。

进阶：

这是 H 指数 的延伸题目，本题中的 citations 数组是保证有序的。你可以优化你的算法到对数时间复杂度吗？

基本分析

本题与 ​​274. H 指数​​ 的主要不同有两方面：

数据范围不同：切换成英文可以发现，在​​274. H 指数​​ 里的范围为，而本题的范围为；给定数组是否有序：在​​274. H 指数​​ 中数组不一定有序，本题则是有序。

显然，增加了数组有序特性，扩大了数据范围。可以猜到利用此特性，存在时间复杂度更低的算法实现。

二分答案（线性 ​​check​​）

在 ​​(题解) 274. H 指数​​ 中，我们使用了 的二分做法，算法的主要瓶颈在于 复杂度的 ​​​check​​。

当然对于 的数据量，使用 复杂度没有任何问题。

Java 代码：

class Solution { public int hIndex(int[] cs) { int n = cs.length; int l = 0, r = n; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(cs, mid)) l = mid; else r = mid - 1; } return r; } boolean check(int[] cs, int mid) { int ans = 0; for (int i : cs) if (i >= mid) ans++; return ans >= mid; }}

Python 3 代码：

class Solution: def hIndex(self, citations: List[int]) -> int: def check(cs, mid): return sum(i>=mid for i in cs) >= mid n = len(citations) l, r = 0, n while l < r: mid = l + r + 1 >> 1 if check(citations, mid): l = mid else: r = mid - 1 return r

时间复杂度：对做二分，复杂度为；​​​check​​​ 函数需要对数组进行线性遍历，复杂度为。整体复杂度为空间复杂度：

二分下标（根据与 关系）

在解法一中，显然我们没有利用本题的「数组有序」的特性。

根据对 ​​H 指数​​​ 定义，如果 升序，在最大的符合条件的分割点 的右边（包含分割点），必然满足 ，我们应当对其进行计数，对于分割点的左边，必然不满足 ，无需进行计数。

因此，我们可以利用 分割点右边书的个数与分割点 的大小关系进行二分 。

假设存在真实分割点下标 ，其值大小为 ，分割点右边的数值个数为 ，根据 ​​​H 指数​​​ 的定义，必然有 关系：

在分割点的右边：非严格单调递增，而书的个数严格单调递减，仍然满足关系；在分割点的左边：非严格单调递减，书的个数严格单调递增，作为真实分割点，因此必然不满足关系。

利用此「二段性」进行二分即可，二分出下标后，再计算出书的个数。

Java 代码：

class Solution { public int hIndex(int[] cs) { int n = cs.length; int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (cs[mid] >= n - mid) r = mid; else l = mid + 1; } return cs[r] >= n - r ? n - r : 0; }}

Python 3 代码：

class Solution: def hIndex(self, citations: List[int]) -> int: n = len(citations) l, r = 0, n - 1 while l < r: mid = l + r >> 1 if citations[mid] >= n - mid: r = mid else: l = mid + 1 return n - r if citations[r] >= n - r else 0

时间复杂度：空间复杂度：

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.275​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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