java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解

java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解

目录什么是最小生成树？普利姆算法算法介绍应用 --> 修路问题图解分析克鲁斯卡尔算法算法介绍应用场景 -- 公交站问题算法图解算法分析如何判断是否构成回路代码实现

什么是最小生成树？

最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST.

最小生成树要求图是连通图。连通图指图中任意两个顶点都有路径相通，通常指无向图。理论上如果图是有向、多重边的，也能求最小生成树，只是不太常见。

普利姆算法

算法介绍

应用 --> 修路问题

图解分析

假设从A村开始

1.从顶点开始处理==============>>

A - C[7] A - G[2] A - B[5]

2.开始，将A和G顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理=>

A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]

3.开始，将A,G,B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 =>

A - C[7] G - E[4] G - F[6] B - D[9]

...........

4. -> F//第4次大循环，对应边 权值：5

5. -> D//第5次大循环，对应边权值：4

6. -> C//第6次大循环，对应边权值：7

public class PrimAlgorithm {

public static void main(String[] args) {

// 测试图是否创建成功

char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };

int verxs = data.length;

// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示，10000这个大数，表示两个点不连通

int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },

{ 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },

{ 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },

{ 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };

// 创建MGraph对象

MGraph graph = new MGraph(verxs);

// 创建一个MinTree对象

MinTree minTree = new MinTree();

minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);

// 输出

minTree.showGraph(graph);

// 测试普利姆算法

minTree.prim(graph, 0);

}

}

//创建最小生成树 -> 村庄的图

class MinTree {

/**

* 创建图的邻接矩阵

*

* @param graph 图对象

* @param verxs 图对应的顶点个数

* @param data 图的各个顶点的值

* @param weight 图的邻接矩阵

*/

public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {

int i, j;

for (i = 0; i < verxs; i++) {

graph.data[i] = data[i];

for (j = 0; j < verxs; j++) {

graph.weight[i][j] = weight[i][j];

}

}

}

/**

* 显示图的邻接矩阵

*/

public void showGraph(MGraph graph) {

for (int[] link : graph.weight) {

System.out.println(Arrays.toString(link));

}

}

/**

* 编写prim算法，得到最小生成树

*

* @param graph 图

* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1...

*/

public void prim(MGraph graph, int v) {

// visited[] 标记节点(顶点)是否被访问过

int visited[] = new int[graph.verxs];

// visited[] 默认元素的值都是0，表示没有访问过

for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {

visited[i] = 0;

}

// 把当前这个节点标记为已访问

visited[v] = 1;

// h1 和 h2 记录两个顶点的下标

int h1 = -1;

int h2 = -1;

int minWeight = 10000;// 将minWeight初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换

for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph,verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs -1边

// 这个是确定每一次生成的子图，那个节点和这次遍历的节点距离最近

for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i节点表示被访问过的节点

for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j节点表示还没有访问过的节点

if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {

// 替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)

minWeight = graph.weight[i][j];

h1 = i;

h2 = j;

}

}

}

// 找到一条边最小

System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);

// 将当前这个节点标记未已经访问

visited[h2] = 1;

// minWeight 重新设置为最大值10000

minWeight = 10000;

}

}

}

class MGraph {

int verxs; // 表示图的节点个数

char[] data; // 存放节点数据

int[][] weight; // 存放边，就是邻接矩阵

public MGraph(int verxs) {

this.verxs = verxs;

data = new char[verxs];

weight = new int[verxs][verxs];

}

}

克鲁斯卡尔算法

算法介绍

应用场景 -- 公交站问题

算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二：将边添加到最小生成树中时，咋样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路

举例说明(如图)

代码实现

public class KruskalCase {

private int edgeNum;// 边的个数

private char[] vertexs;// 顶点数组

private int[][] matrix;// 邻接矩阵

// 使用INF 表示两个顶点不能连通

private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

public static void main(String[] args) {

char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };

// 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵

int matrix[][] = {

/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */

/* A */{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */{ 12, 0, 0, INF, INF, 7, INF },

/* C */{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },

/* E */{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },

/* G */{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };

// 创建KruskalCase 对象实例

KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);

// 输出构建的

kruskalCase.print();

kruskalCase.kruskal();

}

// 构造器

public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {

// 初始化顶点数和边的个数

int vlen = vertexs.length;

// 初始化顶点,使用的是复制拷贝的方式

this.vertexs = new char[vlen];

for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {

this.vertexs[i] = vertexs[i];

}

// 初始化边，使用的是复制拷贝的方式

this.matrix = new int[vlen][vlen];

for (int i = 0; i < vlen; i++) {

for (int j = 0; j < vlen; j++) {

this.matrix[i][j] = matrix[i][j];

}

}

// 统计边的条数

for (int i = 0; i < vlen; i++) {

for (int j = i + 1; i < vlen; j++) {

if (this.matrix[i][j] != INF) {

edgeNum++;

}

}

}

}

public void kruskal() {

int index = 0;// 表示最后结果数组的索引

int[] ends = new int[edgeNum];// 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点

// 创建结果数组，保存最后的最小生成树

EData[] rets = new EData[edgeNum];

// 获取图中所有的边的集合，一共有12条边

EData[] edges = getEdges();

System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length);

//按照边的权值大小进行排序(从小到大)

sortEdges(edges);

//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets,否则不能加入

for(int i = 0;i < edgeNum;i++) {

//获取到第i条边的第一个顶点(起点)

int p1 = getPosition(edges[i].start);

//获取到第i条边的第2个顶点

int p2 = getPosition(edges[i].end);

//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点

int m = getEnd(ends, p1);

//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点

int n = getEnd(ends, p2);

//是否构成回路

if(m != n) {//没有构成回路

ends[m] = n;//设置m在"已有最小生成树"中的终点 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0]

rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组

}

}

//统计并打印"最小生成树",输出rets

System.out.println("最小生成树为");

for(int i = 0;i < index;i++) {

System.out.println(rets[i]);

}

}

// 打印邻接矩阵

public void print() {

System.out.println("邻接矩阵为：\n");

for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {

for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {

System.out.printf("%20d\t", matrix[i][j]);

}

System.out.println();

}

}

/**

* 功能：对边进行排序处理，冒泡排序

*

* @param edges 边的集合

*/

private void sortEdges(EData[] edges) {

for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {

for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {

if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换

EData tmp = edges[j];

edges[j] = edges[j + 1];

edges[j + 1] = tmp;

}

}

}

}

/**

* @param ch 顶点的值，比如'A','B'

* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1

*/

private int getPosition(char ch) {

for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {

if (vertexs[i] == ch) {// 找到

return i;

}

}

// 找不到，返回-1

return -1;

}

/**

* 功能：获取图中边，放到EData[]数组中，后面我们需要遍历该数组 是通过matrix邻接矩阵来获取 EData[]

* 形式[['A','B',12],['B','F',7],...]

*

* @return

*/

private EData[] getEdges() {

int index = 0;

EData[] edges = new EData[edgeNum];

for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {

for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {

if (matrix[i][j] != INF) {

edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);

}

}

}

return edges;

}

/**

* 功能：获取下标为i的顶点的棕垫终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同

*

* @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是那个，ends数组是在遍历过程中，逐步形成

* @param i 表示传入的顶点对应的下标

* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标

*/

private int getEnd(int[] ends, int i) {

while (ends[i] != 0) {

i = ends[i];

}

return i;

}

}

//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边

class EData {

char start;// 边的一个点

char end;// 边的另外一个点

int weight;// 边的权值

// 构造器

public EData(char start, char end, int weight) {

this.start = start;

this.end = end;

this.weight = weight;

}

// 重写toString,便于输出边

@Override

pubBgklkXIBtlic String toString() {

return "EData [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";

}

}

以上就是java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解的详细内容，更多关于图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树的BgklkXIBt资料请关注我们其它相关文章！

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